3.3 Calculo de Volúmenes de Sólidos de Revolución

Sólido de revolución

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del planoalrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar 

ROTACIONES ALREDEDOR DE LOS EJES CARTESIANOS

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica 

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY,

REFERENCIAS

ENLACES EXTERNOS

Weisstein, Eric W., «Sólido de revolución»

Categorías: Cálculo integral | Geometría

3.4 Calculo de Centroides

En geometría, el centroide, centro geométrico o baricentro de una figura plana o tridimensional forma dos X es la intersección de todas las líneas rectas que dividen a X en dos partes de igual momento sobre la línea. Informalmente, es el “promedio” (media aritmética) de todos los puntos de X. La definición se extiende a todo objeto X de n - dimensiones del espacio: su centro de gravedad es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual momento.

En la física, la palabra centroide significa que el centro geométrico del objeto de la forma, como antes, pero baricentro también puede significar su físico centro de la masa o el centro de gravedad, según el contexto. Informalmente, el centro de la masa (y centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme) es el promedio de todos los puntos, ponderado por el local de la densidad o peso específico. Si un objeto físico tiene uniforme de densidad, entonces su centro de masa es el mismo que el centro de gravedad de su forma.

En geografía, el centro de gravedad de una región de la superficie de la Tierra, proyectada radialmente sobre dicha superficie, se conoce como su centro geográfico.

Propiedades.

El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto A-convexa no puede tener un centro de gravedad que está fuera de la propia figura. El centro de gravedad de un anillo o un tazón de fuente, por ejemplo, se encuentra en la central de vacío del objeto.

Si el centro de gravedad se define, se trata de un punto fijo de todas las isometrías en su grupo de simetría. En particular, el centroide geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos los hiperplanos de simetría. El centro de gravedad de muchas figuras ( polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc) puede ser determinada por este principio.

En particular, el centro de gravedad de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales. Esto no es cierto para otros cuadriláteros. Por la misma razón, el centro de gravedad de un objeto con simetría traslacional no está definido (o se encuentra fuera del espacio envolvente), debido a una traducción no tiene ningún punto fijo.

Método de línea de plomada.

El centroide de una lámina de dos dimensiones uniformes, tales como (a) a continuación, se puede determinar, de forma experimental, utilizando una plomada y un alfiler para encontrar el centro de masa de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tiene la misma forma. El cuerpo está en manos de la clavija insertada en un punto cerca del perímetro del cuerpo, de tal manera que puede girar libremente alrededor del perno y la plomada se deja caer desde el pasador (b). La posición de la plomada se traza en el cuerpo. El experimento se repite con la clavija insertada en un punto diferente del objeto. La intersección de las dos líneas es el centro de gravedad de la figura.

Este método puede ser extendido (en teoría) a las formas cóncavas en el centro de gravedad se encuentra fuera de la forma, y ​​los sólidos (de densidad uniforme), pero las posiciones de las líneas de plomo deben ser registrados por cualquier otro medio de dibujo.

BIBLIOGRAFIAS:

http://www.intertech.upv.es/pdf/education/Urchueguia/FF1/Tema4.pdf

3.5 Otras Aplicaciones

Centro de masa

La conservación del momento total nos da un método para analizar un "sistema de partículas". Un sistema tal puede ser virtualmente cualquier cosa (un volumen de gas, agua en un recipiente o una pelota de béisbol). Otro concepto importante nos permite el análisis del movimiento general de un sistema de partículas. Comprende la representación del sistema entero, como una partícula sencilla cuyo concepto se iniciará aquí.

Si no hay alguna fuerza externa que actúe sobre una partícula, su cantidad de movimiento lineales constante. En una forma similar, si no hay alguna fuerza que actúe sobre un sistema de partículas, la cantidad de movimiento lineal del sistema también es constante. Esta similitud significa que un sistema de partículas se puede representar por una sola partícula equivalente.Objetos móviles taIes como pelotas, automóviles y demás, se pueden considerar en la práctica como sistemas de partículas y se pueden representar efectivamente por partículas simples equivalentes cuando se analiza su movimiento. Tal representación se hace por del concepto de centro de masa (CM).

El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema.

Aun si el objeto esta en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahí

La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa

F=MAcm

En donde F es la fuerza externa neta, M es la masa total del sistema o la suma masas de las partículas del sistema (M = m1 + m2 + m3+...+mn),donde el sistema tiene n partículas), y ACM es la aceleración del centro de masa. La ecuación dice que el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada alli, y recibiera la acción de la resultante de las fuerzas externas.

Relación del Cm con el moméntum.

El CM se relaciona con el moméntum en la forma que nos ayuda a encontrar el CM de un sistema, es decir que esto nos ayuda a encontrar el punto en que no hay torque alguno por parte del sistema.

En este punto de aquí la hoja no daría torque alguno si tuviera un sustento.

Ejemplo 1: Encontrar el cm

Tres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, están localizadas en posiciones (3.0, 0), (6.0, 0) y (4.0,0), respectívamente, en metros a partír del origen ¿En donde está el centro de masa de este sistema?

Dados : m1 =2.0kg Encontrar: Xcm (coordenadas CM)

m2=3.Okg

m3=6.Okg

x1 =3.0m

x2=6.0m

x3=-4.Om

Luego , simplemente realizamos la sumatoria como se indica en la ec. 6.19,

Xcm = Sumatoria m1 x1

M

(2.0 kg)(3.0 m) + (3.0 kg)(6.0 m) + (6.0 kg)( 4.0 m)

2.0kg + 3.0kg + 6.0kg

La resolución = 0, por lo que sabemos que el centro de masa está en el origen

BIBLIOGRAFIA
http://buscador.rincondelvago.com/CALCULO+DE+CENTROIDES

4.1 Definición de serie

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r² + r³ +r⁴ + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.

Carácter de una serie.

• Convergente : Cuando la suma es un número real.
• Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
• Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.

Propiedades generales de las series numéricas

• å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
• Si å an es divergente no podemos saber nada.
• Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.

4.1.1 Finita

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como  

donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,      .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

Serie finita

x_i = 0 para todo i > n y y_i = 0 para todo i > m. En este caso el producto de

Cauchy de   

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

§  Primer ejemplo. Para alguna      

                 por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy

                               fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica