UNIDAD 4. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

4.1 TEORIA PREELIMINAR

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden

dydx= f (x,y)                        

           

Sujeta a la condición adicional

y(x0) =y0                        

                                   

Donde

x0 es un punto en I y  y0 es un número real arbitrario.

  El problema

Resuelva: dy/dx=f (x,y)

Sujeta a :y(x0) =y0             

                                     

Se llama problema de valor inicial . A la condición adicional "sujeta" se la conoce como condición inicial

 

Biografía

http://es.scribd.com/doc/75708402/12/Teoria-preliminar
Ecuaciones Diferenciales Lineales, Earl D. Ranville, Ed Trillas

4.1.1 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como:

 

 Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j].

Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamado a veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es,

dx/ dt = f(t, x, y)

dy/ dt = g(t, x, y)

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente,

dx1/ dt = −4×1 + 2×2

dx2/ dt = 0×1 + −2×2

Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesario un vector propio generalizado.

Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos.

La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x

En este caso, A es la matriz constante que puede ser representada como, 

A = 

Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es representado como, 

x(t)T = 

dx/ dt = 

Bibliografia:

http://mitecnologico.com/sistemas/Main/SistemasDeEcuacionesDiferencialesLineales

4.1.2 SISTEMAS EDL HOMIGENEOS

Es de la forma:

 

Esta se da cuando una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2… X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como, 

 

En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j]…Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

 

Bibliografia:

Ecuaciones Diferenciales Elementales Earl D. Rainville

Ed. Trillas