4.2 METODOS DE SOLUCION PARA SISTEMAS EDL

El método de Euler. La idea del método sigue siendo truncar el desarrollo de Taylor de y para

Quedarnos con su parte lineal. De acuerdo con el teorema de Taylor,

Y (ti+1) ≈ y (ti) + (ti+1 − ti) y0 (ti).

Usando que y satisface la ecuación diferencial y0 = f (t, y) y escribiendo h en vez de ti+1 − ti nos

Queda

Y (ti+1) ≈ y (ti) + hf (ti, y (ti)).

Si disponemos ya de una aproximación wi ≈ y (ti), la fórmula anterior nos proporciona una

Aproximación de y (ti+1):

Y (ti+1) ≈ wi+1:= wi + hf (ti, wi).

Puesto que y (t0) = y0, podemos ir calculando los valores wi de forma iterativa:

w0 = y0,

Wi+1 = wi + hf (ti, wi), i= 0, 1, 2,. . ., n − 1.

Interpolación. Una vez que tenemos las aproximaciones (ti, wi) para todos los nodos, si queremos

Hallar una aproximación del valor y (t) de la solución en un punto t comprendido entre dos

Nodos ti < t < ti+1, entonces la aproximación viene dada por

Y (t) ≈ wi +

Wi+1 − wi

H

(T − ti),

Que no es más que una interpolación lineal a trozos hecha coordenada a coordenada.

10 Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo. Si aplicamos el método de Euler para resolver el sistema

y01

(t) = ty1 (t) + (y2 (t))2,

y02

(t) = t − y1 (t) y2 (t)

En el intervalo [0, 1] con valores iniciales y (0) =

∙

1

−1

¸

, obtenemos los siguientes resultados

Ti y1 (ti) y2 (ti)

0 1.0000 −1.0000

0.1 1.1000 −0.9000

0.2 1.1920 −0.7910

0.3 1.2784 −0.6767

0.4 1.3626 −0.5602

0.5 1.4484 −0.4439

0.6 1.5406 −0.3296

0.7 1.6439 −0.2188

0.8 1.7637 −0.1128

0.9 1.9061 −0.0129

1.0000 2.0777 0.0795